• Principle of Stationary Phase(POSP)
  • 1. Principle of Stationary Phase를 이용한 Fourier Transform 근사
  • 2. Linear Frequency Modulation 신호에 POSP 적용
  • 3. Sympy를 이용한 Chirp의 Fourier Transform
  • 4. Discrete Time Fourier Series(DTFS)와 POSP 결과 비교
• 참고자료

Principle of Stationary Phase(POSP)

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넓은 주파수 대역을 가지는 1-D 함수의 Fourier Transform 근사 방법이다. Super Chirp($e^{\pm i \pi t^n}$) 형태의 Close form이 없는 함수의 주파수 특성을 유도하기에 매우 유용하다.

\[I ( f ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } r ( t ) e ^ { i f \cdot \mu ( t ) } d t\] \[r ( t ), \mu ( t ) \text{= real-valued function}\]

위의 적분식에서 지수 함수 $e ^ { i f \cdot \mu ( t ) }$의 진동의 속도는 $f$와 $\mu ( t )$에 비례할 것이다. 만약 f가 크다면, ${\mu} ^{\prime} ( t ) = 0$을 제외한 영역에서 $e ^ { i f \cdot \mu ( t ) }$는 -1과 1 매우 빠르게 진동할 것이고 $r ( t )$보다 빠르게 진동한다면 지수 함수의 큰 진동 때문에 값들이 상쇄되어 적분 결과는 매우 작을 것이다.
${\mu}^{\prime} ( t_0 ) = 0$인 영역의 $t_0$을 Stationary point라고 부르고 $t_0$의 영역을 적분 값으로 근사화하는 것을 Principle of Stationary Phase라고 한다.

1. Principle of Stationary Phase를 이용한 Fourier Transform 근사

함수 $x(t)$의 Fourier Transform은 아래와 같다.

\[\left.\begin{array}{l}{ X ( f ) = F _ { 1} \{ x ( t ) \} = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ( t ) e ^ { - 2\pi i f t } d t }\\{ = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( | x ( t ) | e ^ { i \Phi \{ x ( t ) \} } ) e ^ { - 2\pi i f t } d t }\\{ = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } | x ( t ) | e ^ { i ( \Phi \{ x ( t ) \} - 2\pi f t ) } d t }\end{array} \right.\]

$\mu ( t )$를 아래와 같이 정의한다.

\[\mu ( t ) = \frac { 1} { f } \Phi \{ x ( t ) \} - 2\pi t\]

$\mu ( t )$로 치환한다. 여기서 $f$는 매개변수이고 피적분함수와 독립이므로 $\mu ( t )$에 포함되어 있어도 관계 없다.

\[X ( f ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } | x ( t ) | e ^ { i f \cdot \mu ( t ) } d t\]

$\mu ( t )$를 Taylor series 전개한다.

\[\left.\begin{array} { c } { \mu(t) = \mu ( t _ { 0} ) + ( t - t _ { 0} ) \mu ^ { \prime } ( t _ { 0} ) + \frac { ( t - t _ { 0} ) ^ { 2} } { 2} \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) } \\ { + \cdots + \frac { ( t - t _ { 0} ) ^ { n } } { n ! } \mu ^ { ( n ) } ( t _ { 0} ) + \cdots } \end{array} \right.\]

$\mu ^{\prime} { ( t_0 ) } = 0$이 되는 stationary point $t_0$를 잡아서 위의 Fourier Transform 수식에 대입한다.

\[\left.\begin{array} { q }{ X ( f ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } | x ( t ) | \operatorname{exp} [ + i f ( \mu ( t _ { 0} ) + \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) \frac { ( t - t _ { 0} ) ^ { 2} } { 2} + \cdots ) ] d t}\end{array} \right.\] \[= \int _ { - \infty } ^ { + \infty } | x ( t ) | ( \operatorname{exp} [ + i f \cdot \mu ( t _ { 0} ) ] \cdot \operatorname{exp} [ + i f (\mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) \frac { ( t - t _ { 0} ) ^ { 2} } { 2} )]\dots ) d t\] \[= \operatorname{exp} [ + i f \cdot \mu ( t _ { 0} ) ] \int _ { - \infty } ^ { + \infty } | x [ t ] | \prod _ { n = 2} ^ { + \infty } ( \operatorname{exp} [ + i f ( \mu ^ { ( n ) } ( t _ { 0} ) \frac { ( t - t _ { 0} ) ^ { n} } { n!} ) ] ) d t\]

f가 크다면 지수함수의 진동이 $| x ( t ) |$의 변화량 보다 매우 크다고 가정할 수 있고 이 경우 적분 전체에 미치는 영향을 미미할 것으로 간주한다.
이런 가정하에 적분값을 stationary point 주변값으로 근사화 시킬 수 있다. 또한 n > 2일 경우 $t_0$ 부근에서 $(t - t_0)^n « (t - t_0)^2$이므로 위의 수식은 아래와 같이 근사화 된다.
이 근사화로 $|x ( t )|$ 를 $|x ( t _ { 0} )|$ 로 치환 할 수 있다.

\[\hat { X } [ | f | > > 0] \cong | x ( t _ { 0} ) | \operatorname{exp} [ + i f \cdot \mu ( t _ { 0} ) ] \int _ { t _ { 0} - \epsilon } ^ { t _ { 0} + \epsilon } \operatorname{exp} [ + i f \cdot \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) \frac { ( t - t _ { 0} ) ^ { 2} } { 2} ] d t\]

적분 Term을 계산하기 위해 한번 더 근사화가 필요하다. Quadratic-phase를 적분할 경우에도 stationary point에 대부분의 값이 집중되어 있으므로 아래와 같이 근사화 시킨다.

\[\int _ { t _ { 0} - \epsilon } ^ { t _ { 0} + \epsilon } \operatorname{exp} [ + i f \cdot \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) \frac { ( t - t _ { 0} ) ^ { 2} } { 2} ] d t \cong \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \operatorname{exp} [ + i f ( \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) \frac { ( t - t _ { 0} ) ^ { 2} } { 2} ) ] dt\]

$\pi u^2 \equiv \frac { 1} { 2} f \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) ( t - t _ { 0} ) ^ { 2}$을 이용해 위의 근사식을 변수 치환한다.

\[\int _ { t = - \infty } ^ { t = + \infty } \operatorname{exp} [ + i f ( \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) \frac { ( t - t _ { 0} ) ^ { 2} } { 2} ) ] d t = ( \sqrt { \frac { 2\pi } { f \mu ^ { \prime \prime } ( t_ { 0} ) } } ) \int _ { u = - \infty } ^ { u = + \infty } \operatorname{exp} [ + i \pi u ^ { 2} ] d u\]

치환된 수식은 central ordinate theorem을 적용하여 계산할 수 있다.

\[( \sqrt { \frac { 2\pi } { f \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) } } ) \int _ { u = - \infty } ^ { u = + \infty } \operatorname{exp} [ + i \pi u ^ { 2} ] d u = ( \sqrt { \frac { 2\pi } { f \cdot \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) } } ) \quad \operatorname{exp} [ + i \frac { \pi } { 4} ]\]

위의 수식을 정리하면 stationary point $t_0$를 가지는 함수에 대한 Fourier Transform 근사식은 다음과 같다.

\[\hat { X } ( | f | > > 0) \cong | x ( t _ { 0} ) | ( \sqrt { \frac { 2\pi } { f \cdot \mu ^ { \prime \prime } ( t _ { 0} ) } } ) \quad \operatorname{exp} [ + i \frac { \pi } { 4} ] \quad \operatorname{exp} [ + i f \cdot \mu ( t _ { 0} )]\]

만약 stationary point가 여러개일 경우 staionary point별로 계산 후 합한다.

2. Linear Frequency Modulation 신호에 POSP 적용

시간에 따라 주파수가 선형적으로 변화하는 Linear Frequency Modulation 신호를 Chirp이라고 부른다.

\[\text{chirp}=e^{i \pi k_r t^2}\] \[k_r \text{: Chirp rate}\]

Chirp의 경우 2차항만 존재하므로 Taylor Series에 의한 오차가 없어서 POSP를 이용한 근사가 매우 정확하다.

Chirp의 경우 $\mu$는 아래와 같이 정의 되고

\[\mu(t) = \frac{\pi k_r t^2}{f} - 2 \pi t\]

위의 POSP 최종 공식에 넣으면 아래와 같다.

\[X(f) = \frac{1}{\sqrt{k_r}} e ^{-i \pi (\frac{f^2}{k_r} + \frac{1}{4})}\]

3. Sympy를 이용한 Chirp의 Fourier Transform

Sympy를 이용하여 Chirp의 적분 결과를 확인한다. Sympy를 사용하면 계산 결과 검토 및 복잡한 연산의 힌트를 찾는데 도움이 된다.

$\text{chirp: }e^{- 1.0 i \pi k_{r} t^{2}}$

$\text{chirp fourier by sympy: }\frac{1.0 i e^{i \pi \left(\frac{f^{2}}{k_{r}} - \frac{3}{4}\right)}}{\sqrt{k_{r}}}$

위의 POSP 수식과 Sympy의 Fourier Transform 결과가 동일한 것을 알 수 있다

4. Discrete Time Fourier Series(DTFS)와 POSP 결과 비교

sympy 결과와 DTFS의 결과가 전혀 다르게 나타난다. 그 이유는 FFT의 특성과 Fourier transform의 scaling property 때문이다.

Python에서 생성한 discrete chirp이 $x[n]$이고 POSP 유도에서 쓰인 continuous time domain의 chirp이 $x(t)$이면 다음과 같은 관계를 갖는다.

\[x[n]=x(n \cdot dt)\]

하지만 fft의 경우 입력된 신호의 Sampling 간격 dt를 1로 가정하고 주파수 Spectrum을 계산하기 때문에 POSP와 FFT의 결과가 달라지게 되고 그 차이는 Fourier transform의 scaling property를 이용하여 아래와 같이 구할 수 있다.

\[|F(x[n \cdot 1])| = \frac{|F(x[n \cdot dt])|}{dt}\]

참고자료

• https://www.cis.rit.edu/class/simg738/Handouts/stationary_phase.pdf